Aljabar Max-Plus Andy Rudhito

Application of Fuzzy Number Max-Plus Algebra to Closed Serial Queuing Network with Fuzzy Activity Time

2011-07-30T16:06:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

dipresentasikan pada: The 6-th SEAMS-GMU 2011 International Conference on Mathematics and Its Applications. July 12-15, 2011.

Abstract. The activity times in a queuing network are seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy number, that is called fuzzy activity times. This paper aims to determine the dynamical model of a closed serial queuing network with fuzzy activity time and its periodic properties using max-plus algebra approach. The finding shows that the dynamics of the network can be modeled as a recursive system of fuzzy number max-plus linear equations. The periodic properties of the network can be obtained from the fuzzy number max-plus eigenvalue and eigenvector of matrix in the system. In the network, for a given level of risk, it can be determined the earliest of early departure time of a customer, so that the customer's departure interval time will be in the smallest interval where the lower bound and upper bound are periodic.

Key words and Phrases: max-plus algebra, queuing network, fuzzy activity times, periodic.

Pemodelan Jaringan Antrian Seri Tertutup Waktu Aktifitas Interval dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus Interval

2011-07-30T15:49:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

dipresentasikan pada: Seminar Nasional Aljabar. UNPAD. 30 April 2011.

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang pemodelan dinamika dan sifat periodik jaringan antrian seri tertutup waktu interval dengan menggunakan aljabar max-plus interval. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa dinamika jaringan antrian seri tertutup waktu interval dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan matriks atas aljabar max-plus interval. Dapat ditentukan pula saat keberangkatan awal tercepat pelanggan agar saat keberangkatan pelanggan selanjutnya berada dalam interval terkecil yang batas bawah dan batas atasnya periodik.

Kata Kunci : aljabar max-plus, interval, nilai eigen, jaringan antrian, periodik.

A Max-Plus Algebra Approach to Critical Path Analysis in The Project Network With Fuzzy Activity Times

2009-10-16T05:37:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

dipresentasikan pada: IndoMS International Conference on Mathematics and Its Applications (IICMA 2009). FMIPA UGM, Yogyakarta 11-12 Oktober 2009.

Abstract. The activity times in a project network are seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy number, that is called fuzzy activity times. This paper aims to determine the fuzzy earliest starting times, fuzzy total duration time and fuzzy critical path using max-plus algebra approach. The finding shows that the project network with fuzzy activity times can be represented as a matrix over fuzzy number max-plus algebra. The project networks dynamics can be represented as a system of fuzzy number max-plus linear equations. From the solutions of the system we can determine the fuzzy earliest starting times and fuzzy total duration time. The fuzzy critical path with a certain degree of critically can be determine through an interval critical path determination. We know that an alpha-cut of the fuzzy activity times are an interval activity times. The interval critical path can be determine through a crisp critical path determination. Meanwhile, the crisp critical path can be determine via a computation using max-plus algebra approach.

Key words and Phrases : max-plus algebra, project network, fuzzy activity times, fuzzy critical path.

ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR

2009-10-16T05:30:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

dipresentasikan pada: Seminar Hasil Penelitian Mahasiswa S3 dalam Dies ke-54 FMIPA UGM. 10 Oktober 2009.

Extended Abstract

Aljabar max-plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis jaringan untuk waktu aktifitas deterministik. Waktu aktifitas dalam jaringan kadang tidak dapat diketahui dengan pasti dan dapat dimodelkan dalam suatu bilangan kabur (fuzzy number). Makalah ini akan membahas suatu aljabar dengan elemen-elemennya berupa bilangan kabur dengan operasi maksimum dan penjumlahan yang didefinisikan di dalamnya. Aljabar ini diharapkan dapat memberikan landasan analisa jaringan dengan waktu aktifitas kabur melalui pendekatan aljabar max-plus .

Aljabar max-plus bilangan kabur merupakan perluasan aljabar max-plus melalui aljabar max-plus interval dan menggunakan Teorema Dekomposisi dalam himpunan kabur. Aljabar max-plus interval sendiri merupakan perluasan aljabar max-plus di mana elemen-elemennya berupa interval-interval real dengan operasi maksimum dan penjumlahan interval di dalamnya. Aljabar max-plus interval merupakan semiring idempoten komutatif.
Dapat ditunjukkan operasi maximum dan penjumlahan yang didefinisikan melalui potongan-alfa bersifat tertutup dalam himpunan semua bilangan kabur, di mana potongan-potongan-alfa tersebut merupakan interval tersarang. Selanjutnya himpunan semua bilangan kabur yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan tersebut merupakan semiring idempoten komutatif. Hal ini sebagai konsekuensi dari aljabar max-plus interval yang merupakan semiring idempoten komutatif, di mana sifat-sifat pada interval juga berlaku pada potongan-alfa.

Kata-kata kunci: semiring , idempoten, aljabar max-plus, bilangan kabur.

Artikel: Determining the Latest Completion Times in Project Networks with Fuzzy Activity Times Using Fuzzy Number Max-Plus Algebra

2009-07-13T03:52:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

dipresentasikan pada: International Conference on Natural and Material Sciences (NAMES 09) , Universitas Lambung Mangkurat, Banjarmasin 3-4 Juli 2009.

Abstract

The activity times in a project network are seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy number, that is called fuzzy activity times. This paper aims to determine the fuzzy latest completion times and fuzzy float times in the project networks with fuzzy activity times using fuzzy number max-plus algebra. The finding shows that the project network with fuzzy activity times can be represented as a matrix over fuzzy number max-plus algebra. The project networks dynamics can be represented as a system of fuzzy number max-plus linear equations. The fuzzy latest completion times for each node in the project networks is a solutions vector of the modified system. The fuzzy float times for each activity in the project networks can be determined by using some operations of matrices over interval max-plus algebra.

Keywords: max-plus algebra, fuzzy number, project network, fuzzy activity times, latest completion times,

Artikel: Applications of Fuzzy Number Max-Plus Eigenvalues on Queuing Networks with Fuzzy Activity Times

2009-06-22T07:23:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

Prociding International Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications (ICMSA 2009). Unand Bukttinggi. 9-11 Juni 2009.

Abstract

The activity times in a network is seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy numbers. This paper aims to determine the service cycle completion time of the acyclic fork-join queuing networks with fuzzy number activity times using fuzzy number max-plus algebra. This paper is a theoretical investigation based on literature and computation using MATLAB program. The finding shows that the service cycle completion time is a eigenvalue of matrices over fuzzy number max-plus algebra in the system.

Keywords: Max-Plus Algebra, Queuing Networks, Fuzzy Number, Completion Times, Eigenvalues.

Artikel: Penerapan Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur pada Jaringan Antrian dengan Waktu Aktifitas Kabur

2009-05-17T18:45:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

PROSIDING SEMINAR NASIONAL Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA , 16 Mei 2009, FMIPA UNY bid MATEMATIKA

Abstrak. Makalah ini membahas tentang pemodelan dan waktu kabur sikel layanan jaringan antrian fork-join taksiklik kapasitas penyangga takhingga dengan waktu aktifitas kabur, dengan menggunakan aljabar max-plus bilangan kabur. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa dinamika jaringan antrian fork-join taksiklik kapasitas penyangga takhingga dengan waktu aktifitas kabur dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan matriks atas aljabar max-plus bilangan kabur.

Kata-kata kunci: aljabar max-plus bilangan kabur, sistem persamaan linear, jaringan antrian fork-join dan waktu aktifitas kabur.

Artikel : PENENTUAN WAKTU AWAL TERCEPAT PADA JARINGAN KABUR DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR

2009-04-22T02:20:00.000-07:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

Prosiding seminar nasional matematika, UNEJ, Jember 28 Pebruari 2009.

ABSTRACT. The activity times in a project network are seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy numbers. This paper aims to determine the earliest starting times for each node in the project networks with fuzzy numbers activity times using fuzzy number max-plus algebra. The finding shows that the project networks with fuzzy number activity can be represented as a matrix over fuzzy number max-plus algebra. The project networks dynamics can be represented as a iterative system of fuzzy number max-plus linear equations. The earliest starting times for each node in the networks are the solutions of the system. Form this result, we can also determine the earliest completion for every activity in the network.

Keywords: max-plus algebra, earliest starting times, project network, fuzzy number.

(Artikel dalam bahasa Indonesia)

Artikel: Penerapan Aljabar Max‐Plus Interval pada Jaringan Antrian dengan Waktu Aktifitas Interval

2009-02-11T05:14:00.000-08:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

Prosiding Seminar Nasional Aljabar, Pengajaran dan Terapannya di UNY Yogyakarta pada tanggal 31 Januari 2009

Abstrak: Makalah ini membahas tentang pemodelan dan interval waktu periodik layanan jaringan antrian fork‐join taksiklik kapasitas penyangga takhingga dengan waktu aktifitas interval, dengan menggunakan aljabar max‐plus interval. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa dinamika jaringan antrian fork‐join taksiklik kapasitas penyangga takhingga dengan waktu aktifitas interval dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan matriks atas aljabar max‐plus interval. Interval waktu sikel layanan jaringan antrian adalah nilai eigen max‐plus interval dari matriks pada persamaan tersebut.

Kata‐kata kunci: aljabar max‐plus interval, nilai eigen max‐plus interval, jaringan antrian fork‐join dan waktu aktifitas interval.

Artikel: Determining the Earliest Starting Times in Project Networks with Interval Activity Times Using Interval Max-Plus Algebra

2009-01-24T04:02:00.000-08:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

Prociding The First International Seminar on Science and Technology (ISSTEC 2009). UII Yogyakarta. 24-25 Januari 2009.

Abstract: The activity times in a project network are seldom precisely known, and then could be represented into the interval. This paper aims to determine the earliest starting time for each node in the project networks with interval activity times using interval max-plus algebra. The finding shows that the project networks with interval activity can be represented as a matrix over interval max-plus algebra. The project networks dynamics can be represented as a iterative system of interval max-plus linear equations. The interval of earliest start time for each node in the project networks is a solutions vector of the system.

Keywords: max-plus algebra, earliest starting times, project network, interval.

FULL PAPER

Artikel : Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval

2009-01-24T03:47:00.000-08:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, and F. Susilo

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika. FMIPA UNY Yogyakarta 28 November 2008.

Abstrak. Makalah ini membahas eksistensi dan ketunggalan nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar max-plus interval. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa setiap matriks atas aljabar max-plus interval mempunyai nilai eigen, yaitu nilai eigen interval max-plus maksimum, dan vektor eigen interval max-plus yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut. Batas bawah dan batas atas nilai eigen interval max-plus maksimum tersebut berturut-turut adalah nilai eigen max-plus maksimum matriks batas bawah dan nilai eigen max-plus maximum matriks batas atas dari matriks intervalnya. Jika matriks atas aljabar max-plus interval tersebut irredusibel maka nilai eigennya tunggal.

Kata-kata kunci: aljabar max-plus, interval, nilai eigen dan vektor eigen.

ARTIKEL LENGKAP

Artikel : ITERATIVE SYSTEM OF FUZZY NUMBER MAX-PLUS LINEAR EQUATIONS

2009-01-24T03:40:00.000-08:00

ITERATIVE SYSTEM OF FUZZY NUMBER MAX-PLUS LINEAR EQUATIONS

Prociding International Conference on Mathematics and Natural Science 2008. FMIPA ITB Bandung 28-30 Oktober 2008.

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

Abstract. The activity times in a network are seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy numbers. With max-plus algebra approach, the network dynamic could be analyzed through its iterative system of fuzzy number max-plus linear equations. This paper aims to determine the existence and uniqueness of the solution of the iterative system of fuzzy number max-plus linear equations. The finding shows that if the square matrix of the systems is semidefinite, then the solution exists. The solution of the system could be determined the solution of the alpha-cuts of the system firstly. Based on the Decomposition Theorem, we can determine the membership function of the elements of solution

vectors. Moreover, the solution is unique if the square matrix of the systems is definite.

Keywords: Max-Plus Algebra, System of Linear Equations, Fuzzy Number

FULL PAPER

Artikel: ANALISIS LINTASAN KRITIS JARINGAN PROYEK DENGAN PENDEKATAN ALJABAR MAX-PLUS

2009-01-24T03:35:00.000-08:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto3 dan F. Susilo

Prosiding Seminar Nasional Matematika FMIPA UNPAR Bandung 6 September 2008.

Abstrak. Metode analisis lintasan kritis jaringan proyek yang telah dikenal adalah metode PERT-CPM. Jaringan proyek merupakan suatu jaringan yang memuat masalah sinkronisasi, yaitu masalah di mana diperlukan ketersediaan beberapa sumber pada waktu yang bersamaan. Aljabar max-plus dapat digunakan untuk memodelkan dan menganalisis masalah jaringan yang memuat masalah di atas. Makalah ini membahas suatu metode analisis lintasan kritis jaringan proyek dengan menggunakan pendekatan aljabar max-plus. Pembahasan merupakan hasil kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program MATLAB. Jaringan proyek dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dapat dinyatakan dengan matriks atas aljabar max-plus. Dinamika jaringan dimodelkan dan dianalisis dengan menggunakan pendekatan aljabar max-plus. Analisis lintasan kritis meliputi waktu awal paling cepat (earliest start time), waktu penyelesaian paling akhir (latest completion time) setiap titik pada jaringan dan waktu mengambang (float time) setiap aktifitas pada jaringan. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa dinamika jaringan proyek dapat dimodelkan ke dalam suatu sistem persamaan (SPL) linear max-plus. Waktu awal paling cepat setiap titik pada jaringan merupakan vektor penyelesaian SPL di atas. Waktu penyelesaian akhir setiap titik pada jaringan merupakan vektor penyelesaian modifikasi SPL di atas. Waktu mengambang setiap aktifitas pada jaringan dapat ditentukan dengan melakukan modifikasi dan sejumlah operasi matriks. Contoh pemodelan dan perhitungan dengan bantuan program MATLAB menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode PERT-CPM.

Kata-kata kunci: aljabar max-plus, jaringan proyek dan lintasan kritis.

DOWNLOAD ARTIKEL

Artikel : EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF MATRICES OVER FUZZY NUMBER MAX-PLUS ALGEBRA

2009-01-22T16:37:00.000-08:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

The 3rd International Conference on Mathematics and Statistics (ICoMS-3) Institut Pertanian Bogor, Indonesia, 5-6 August 2008

Abstract. The activity times in a network is seldom precisely known, and then could be represented into the fuzzy numbers. With max-plus algebra approach, the periodical properties of the network dynamic could be analyzed through the eigenvalues and eigenvectors of matrices over max-plus algebra in the its modelling. This paper aims to determine the eigenvalues and eigenvectors of matrices overfuzzy number max-plus algebra. The result of this paper can be used to analyze the periodical properties of the network dynamic with its activity times which is represented using the fuzzy numbers.

This paper is a theoretical investigation based on literature and computation using MATLAB program. The maximum and addition operations of the fuzzy number is defined through its alpha-cuts which are the closed intervals. The eigenvalues and eigenvectors of matrices overmax-plus algebra is extended into eigenvalues and eigenvectors of matrices overfuzzy number max-plus algebra, through eigenvalues and eigenvectors of matrices over interval max-plus algebra.

The finding shows that eigenvalues and eigenvectors of matrices over fuzzy number max-plus algebra could be determined the eigenvalues and eigenvector of every its alpha-cuts matrices firstly. Based on the Decomposition Theorem, we can determine the membership function of the eigenvalues and membership functions of the elements of eigenvectors corresponding to the eigenvalues. Moreover, the eigenvalue is unique if the matrices is irreducible.

Keywords: max-plus algebra, eigenvalues, eigenvectors, fuzzy number

Artikel: Sistem Persamaan Linear Max-Plus Bilangan Kabur

2009-01-22T16:24:00.000-08:00

M. Andy Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo

Prosiding Konferensi Nasional Matematika IV FMIPA UNSRI Palembang 24 – 27 Juli 2008.

Abstract

Tulisan ini membahas tentang eksistensi dan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur melalui subpenyelesaian terbesarnya. Dapat ditunjukkan bahwa setiap sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur, dengan matriks koefisiennya berupa matriks bilangan kabur persegi, di mana unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan takhingga, selalu mempunyai subpenyelesaian terbesar. Subpenyelesaian terbesar sistem tersebut dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu subpenyelesaian terbesar setiap sistem persamaan linear max-plus interval potongan-alpha-nya. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema Dekomposisi dapat ditentukan fungsi keanggotaan subpenyelesaian terbesar bilangan kabur yang dimaksud. Jika subpenyelesaian terbesar bilangan kabur tersebut memenuhi sistem persamaan linearnya, maka subpenyelesaian tersebut merupakan penyelesaian sistem tersebut.

Kata-kata kunci: Aljabar Max-Plus, Sistem Persamaan Linear, Bilangan Fuzzy.

ARTIKEL LENGKAP

Artikel: SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAX-PLUS INTERVAL

2009-01-03T07:00:00.000-08:00

Rudhito M. Andy, Wahyuni Sri, Suparwanto Ari dan Susilo F, ”Sistem Persamaan Linear Iteratif Max-Plus Interval,“ Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, pp. 263 – 272, UNY Mei 2008.

Abstrak: Makalah ini membahas penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus interval yang akan menjadi dasar pembahasan penyelesaian sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi.

Dapat ditunjukkan bahwa setiap sistem persamaan linear iteratif max-plus interval, dengan matriks interval persegi yang semidefinit, selalu mempunyai penyelesaian interval maksmum. Batas bawah dan batas atas penyelesaian interval maksmum tersebut berturut-turut adalah penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus untuk matriks batas bawah dan penyelesaian sistem persamaan linear iteratif max-plus untuk matriks batas atas dari matriks intervalnya. Jika matriks interval persegi dalam sistem definit, maka penyelesaian tersebut tunggal.

Kata-kata kunci: aljabar max-plus, interval, sistem persamaan linear iteratif.

DOWNLOAD SELENGKAPNYA

Artikel: SISTEM PERSAMAAN LINEAR MAX-PLUS INTERVAL

2009-01-03T06:56:00.000-08:00

Rudhito M. Andy, Wahyuni Sri, Suparwanto Ari dan Susilo F, ”Sistem Persamaan Linear Max-Plus Interval,“ Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, pp. 255 – 262, UNY Mei 2008.

Abstrak

Makalah ini membahas penyelesaian sistem persamaan linear max-plus interval yang dapat menjadi dasar pembahasan penyelesaian sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi. Dapat ditunjukkan bahwa setiap sistem persamaan linear max-plus interval, dengan matriks interval persegi, di mana unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan interval  selalu mempunyai subpenyelesaian interval terbesar. Vektor batas bawah vektor subpenyelesaian interval terbesar tersebut adalah vektor subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus dengan matriks koefisiennya adalah matriks batas bawah dari matriks interval sistem tersebut. Sedangkan vektor batas atas vektor subpenyelesaian interval terbesar tersebut adalah vektor subpenyelesaian terbesar sistem persamaan linear max-plus dengan matriks koefisiennya adalah matriks batas atas dari matriks interval sistem tersebut.

Kata-kata kunci: aljabar max-plus, interval, sistem persamaan linear.

DOWNLOAD SELENGKAPNYA

Artikel: MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

2009-01-03T06:51:00.000-08:00

Rudhito M. Andy, Wahyuni Sri, Suparwanto Ari dan Susilo F, ”Matris Aljabar Max-Plus Interval,“ Prosiding Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika, pp. 23 – 32, UGM Mei 2008.

Abstrak: Makalah ini membahas aljabar matriks atas aljabar max-plus interval (matriks interval) dan suatu cara untuk mempermudah pengoperasian matriks interval melalui interval matriksnya. Aljabar matriks ini merupakan perluasan aljabar matriks atas aljabar max-plus dan dapat menjadi dasar pembahasan aljabar matriks max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi. Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua matriks interval yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar max-plus dan penjumlahan max-plus merupakan semimodul. Himpunan semua matriks persegi atas aljabar max-plus interval yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan max-plus dan perkalian max-plus merupakan semiring idempoten. Sebagai jaminan dapat dilakukan pengoperasian matriks interval melalui interval matriksnya, ditunjukkan bahwa semimodul himpunan semua matriks interval isomorfis dengan semimodul himpunan interval matriks yang bersesuaian, dan semiring himpunan semua matriks interval persegi isomorfis dengan semiring himpunan interval matriks persegi yang bersesuaian.

Kata-kata kunci: semiring, idempoten, aljabar max-plus, interval, aljabar matriks.

DOWNLOAD SELENGKAPNYA

Artikel: ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

2009-01-03T06:44:00.000-08:00

Rudhito M. Andy, Wahyuni Sri, Suparwanto Ari dan Susilo F, ”Aljabar Max-Plus Interval,“ Prosiding Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika, pp. 14 – 22, UGM Mei 2008.

Abstrak

Makalah ini membahas suatu aljabar himpunan semua interval dalam aljabar max-plus yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan. Aljabar ini merupakan perluasan aljabar max-plus dan dapat menjadi dasar pembahasan aljabar max-plus bilangan kabur melalui Teorema Dekomposisi dalam himpunan kabur. Dapat ditunjukkan bahwa himpunan semua interval dalam aljabar max-plus yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan merupakan semiring idempoten komutatif. Semiring idempoten komutatif ini disebut aljabar max-plus interval. Gabungan himpunan semua interval dan himpunan semua interval tak sejati dalam aljabar max-plus yang dilengkapi dengan operasi maximum dan penjumlahan merupakan semifield. Semifield ini disebut aljabar max-plus interval tergeneralisasi.

Kata-kata kunci: semiring , idempoten, aljabar max-plus, interval.

DOWNLOAD SELENGKAPNYA

Artikel: SEMIMODUL BILANGAN FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY

2009-01-03T06:38:00.000-08:00

Rudhito, Andy dan Wahyuni Sri, Proseding Seminar Nasional Matematika, “Permasalahan Matematika dan Pendidikan Matematika Terkini” FMIPA UPI dan IndoMS, Bandung 8 Desember 2007

Abstrak : Makalah ini membahas tentang struktur aljabar max-plus bilangan fuzzy dan perluasannya pada matriks bilangan fuzzy dan vektor bilangan fuzzy. Ditunjukkan bahwa R max = (R  {{}}, , ), dengan R himpunan semua bilangan fuzzy dan , berturut-turut adalah operasi maximum dan penjumlahan pada bilangan fuzzy, merupakan semiring idempoten komutatif, ( , , ) merupakan semiring idempoten dan merupakan semimodul atas R max.

Kata-kata kunci: Bilangan Fuzzy, Semiring, Semimodul.

DOWNLOAD SELENGKAPNYA

Proposal Disertasi: ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH PENJADWALAN DAN JARINGAN ANTRIAN KABUR

2009-01-03T06:31:00.000-08:00

Proposal Disertasi:

Pengantar : Aljabar max-plus (himpunan semua bilangan real R dilengkapi dengan operasi max dan plus) telah dapat digunakan dengan baik untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, seperti masalah: penjadwalan (proyek) dan sistem antrian, lebih detailnya dapat dilihat pada Bacelli, et al. (2001), Rudhito, A. (2004), Krivulin, N.K. (2001).

Pemodelan matematika yang dibahas di atas kebanyakan masih berupa model deterministik, di mana waktu aktifitas dalam jaringan berupa bilangan real (positip). Model ini mengasumsikan adanya informasi dan pengetahuan yang sempurna/pasti mengenai waktu aktifitas dalam jaringan tersebut, sementara dalam kenyataanya ada faktor ketidakpastian. Untuk menangani faktor ketidakpastian dalam waktu aktifitas ini, model deterministik dikembangkan menjadi model probabilistik. Dalam model ini waktu aktifitas dipandang sebagai variabel random dengan distribusi tertentu. Distribusi variabel random ini biasanya disusun berdasarkan data-data yang diperoleh setelah jaringan dioperasikan untuk jangka waktu tertentu. Penggunaan aljabar max-plus untuk model stokastik juga telah dikembangkan, seperti dalam Bacelli, et al. (2001), Boom, T.J.J., et al. (2003), Heidergott, B. B, et. al. (2005).

Dalam masalah pemodelan dan analisa suatu jaringan di mana waktu aktifitasnya belum diketahui, misalkan karena masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktifitas belum diketahui secara pasti maupun distribusinya. Waktu aktifitas ini dapat diperkirakan berdasarkan pengalaman maupun pendapat dari para ahli maupun operator jaringan tersebut. Misalkan, dalam masalah penjadwalan proyek, pimpinan proyek menyatakan: ”waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan ini sekitar 5 bulan”. Seiring dengan perkembangan teori kabur (fuzzy), konstanta maupun parameter seperti di atas ditangani sebagai bilangan kabur (fuzzy number). Waktu aktifitas jaringan dimodelkan dengan bilangan kabur. Untuk masalah penjadwalan yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Chanas, S., Zielinski, P. (2001) dan Soltoni, A., Haji, R. (2007). Sedangkan untuk masalah model jaringan yang melibatkan bilangan kabur dapat dilihat pada Lüthi, J., Haring, G. (1997).

Pemodelan dan analisa pada masalah-masalah jaringan dengan waktu aktifitas yang bilangan kabur, sejauh peneliti ketahui, belum ada yang menggunakan pendekatan max-plus aljabar seperti halnya yang telah dilakukan untuk model deterministik dan probabilistik. Seperti telah diketahui pendekatan penyelesaian masalah jaringan dengan menggunakan aljabar max-plus dapat memberikan hasil analitis dan lebih mempermudah dalam komputasinya. Pendekatan aljabar max-plus untuk menyelesaikan masalah-masalah jaringan menggunakan konsep-konsep dasar seperti: aljabar max-plus dan perluasannya ke dalam matriks dan vektor, sistem persamaan linear max-plus dan nilai eigen dan vektor eigen max-plus, seperti dalam Rudhito (2003). Dengan demikian, untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur, seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, dengan pendekatan aljabar max-plus, aljabar max-plus perlu digeneralisasi menjadi aljabar max-plus bilangan kabur dan konsep-konsep yang terkait di dalamnya.

DOWNLOAD SELENGKAPNYA

Topik Tugas Akhir : Aljabar Linear Max-Plus

2008-12-16T15:09:00.000-08:00

Berikut saya sampaikan contoh artikel yang membahas sekitar aljabar linear max plus . Silakan didownload saja.

Bases in max-algebra
Generators, extremals and bases of max cones
Max-Plus Convex Geometry
THE MINKOWSKI THEOREM FOR MAX-PLUS CONVEX SETS

Topik Tugas Akhir : Eigen Max-Plus

2008-12-16T15:00:00.000-08:00

Berikut saya sampaikan contoh artikel masalah nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar max plus . Silakan di download saja.

Max-algebraic eigenvalues: the reducible case
APPLICATIONS OF MAX ALGEBRA TO DIAGONAL SCALING OFMATRICES
MAX-PLUS DEFINITE MATRIX CLOSURES AND THEIR EIGENSPACES
On matrix powers in max-algebra
On the robustness of matrices in max algebra

Topik Tugas Akhir : Sistem Linear Max-Plus

2008-12-16T14:47:00.000-08:00

Berikut saya sampaikan contoh artikel sistem linear max plus . Silakan di download saja.

Adaptive model predictive control using max-plus-linear input-outputmodels.
Modelling and control of discrete event systems using switching max-plus-linear systems.
ON JUST IN TIME CONTROL OF SWITCHING MAX-PLUS LINEAR SYSTEMS.
Input signal design for identification of max-plus-linear systems.
MPC of implicit switching max-plus-linear discrete event systems Timing aspects.
On the Network Dual Problem.

Topik Tugas Akhir : Penerapan Max-Plus pada Transportasi

2008-12-16T14:39:00.000-08:00

Berikut saya sampaikan contoh artikel penerapan aljabar max plus pada masalah transportasi. Silakan di download saja.

On max-algebraic models for transportation networks.
TIMETABLE SYNTHESIS USING (MAX, +) ALGEBRA.
Dynamic railway network management using switching max-plus-linear models.

Buku : Synchronization an Linearity

2008-12-15T19:03:00.000-08:00

Para pembaca, hampir semua artikel, buku, tentang aljabar max-plus mengacu buku berikut.

Buku ini bisa anda dapatkan dengan biaya Rp.25.000 yang dapat disetor ke BNI UGM YOGYA No. Rek 0132092866 Nama: M. ANDY RUDHITO. Segera setelah setor silakan email saya tanggal jam dan kode transfer. File ebook akan kami kirim via email anda.

Artikel: PEMODELAN ALJABAR MAX-PLUS DAN EVALUASI KINERJA JARINGAN ANTRIAN FORK-JOIN

2008-12-04T17:50:00.000-08:00

M. Andy Rudhito dan Ari Suparwanto, Prosiding Seminar Nasional Sain dan Pendidikan Sain, ”Pembelajaran Sain yang Menarik dan Menantang” FSM UKSW, Salatiga 12 Januari 2008.

Abstrak: Makalah ini membahas tentang pemodelan dan evaluasi kinerja jaringan antrian fork-join taksiklik kapasitas penyangga takhingga, dengan menggunakan aljabar max-plus. Persamaan state eksplisit jaringan tersebut adalah ....

Download: Artikel Lengkap

Tesis: Lampiran Listing Program MATLAB

2008-12-03T22:38:00.000-08:00

Dalam Lampiran ini diberikan listing program berbagai perhitungan dengan menggunakan MATLAB.

Download selengkapnya:

Lampiran Tesis

Tesis: 3.4 Simulasi Input-Output SLMI dengan Program Matlab

2008-12-03T22:34:00.000-08:00

Untuk mempermudah dan mempercepat penghitungan input-output SLMI, disusun program simulasi input-output dengan menggunakan bahasa pemrograman komputer Matlab.

Download selengkapnya:

Tesis Bab III.4

Tesis: 3.3 Sifat Periodik Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant Autonomous

2008-12-03T22:28:00.000-08:00

Berikut dibahas sifat periodik SLMI autonomous berdasarkan pengertian nilai eigen dan vektor eigen aljabar max-plus. Sebelumnya didefinisikan pengertian sifat periodik suatu SLMI.

Definisi 3.3.1

Download selengkapnya:

Tesis Bab III.3

Tesis: 3. 2 Analisis Input-Output Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant

2008-12-02T22:18:00.000-08:00

Dalam sub bab ini dibahas analisis dan beberapa masalah input-output SLMI. Jika kondisi awal dan suatu barisan input diberikan untuk suatu SLMI (A, B, C, x0 ), maka secara rekursif dapat ditentukan suatu barisan vektor keadaan sistem dan barisan output sistem.

Contoh 3.2.1
Diperhatikan sistem produksi sederhana dalam Contoh 3.1.2. Misalkan kondisi awal ............

Download selengkapnya:

Tesis Bab III.2

Tesis: 3. 1 Pengertian Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant

2008-12-02T17:25:00.000-08:00

BAB III
SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU-INVARIANT

Dalam bab ini akan dibahas pengertian dan sifat-sifat sistem linear max-plus waktu-invariant. Akan diberikan juga ilustrasi dan contoh penerapan dalam sistem produksi sederhana dan sistem jaringan kereta sederhana.

3. 1 Pengertian Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant

Diperhatikan kembali persamaan (1.1.2) dan (1.1.3) dalam Bab I. Pada umumnya parameter t tidak selalu menyatakan waktu, tetapi bisa menyatakan kejadian atau yang lainnya, seperti yang akan diberikan berikut ini. Parameter t seperti pada persamaan (1.1.2) - (1.1.3) akan digunakan untuk menyatakan kejadian. Untuk itu ......

Download selengkapnya:

Tesis Bab III.1

Tesis: 2.3 Aljabar Max-Plus dan Teori Graf

2008-11-30T18:27:00.000-08:00

Dalam subbab ini diberikan pengantar singkat teori graf, dan interpretasi beberapa operasi dan konsep dasar aljabar max-plus dalam teori graf.

.... dan selengkapnya ....

Download selengkapnya:

Tesis Bab II.3

Tesis: 2.2 Sistem Persamaan Linear Max-Plus

2008-11-30T18:22:00.001-08:00

Sistem persamaan linear max-plus A x = b tidak selalu mempunyai penyelesaian. Sebagai contoh:

Contoh 2.2.1

.... dan seterusnya ....

Dowmload selengkapnya:

Tesis Bab II.2

Tesis: 2. 1 Semimodul atas Aljabar Max-Plus

2008-11-28T19:01:00.000-08:00

BAB II
ALJABAR MAX-PLUS

Dalam bab ini dibahas beberapa konsep dasar yang akan digunakan untuk membahas sistem linear max-plus waktu-invariant. Pembahasan meliputi semimodul atas aljabar max-plus Rmax, sistem persamaan linear max-plus, dan aljabar max-plus dan teori graf.

2.1 Semimodul atas Aljabar Max-Plus Rmax

Dalam subbab ini dibahas tentang aljabar max-plus Rmax, perluasan operasi pada Rmax untuk matriks dalam, semimodul dan relasi urutan didalamnya.

Selengkapnya : Download

Tesis Bab II.1

Tesis: Bab I Pendahuluan

2008-11-28T18:46:00.000-08:00

1. 1 Latar Belakang dan Permasalahan

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa masalah yang dapat dimodelkan secara matematis dengan sistem dinamika, misalnya sistem produksi perakitan, sistem jaringan telekomunikasi, sistem pemrosesan paralel pada komputer, sistem jaringan kereta, dan sebagainya.

Diperhatikan suatu sistem jaringan kereta sederhana (Goverde, et.al, 1998) yang disajikan dalam Gambar 1.1.1 berikut:

dan seterusnya:

Download selengkapnya:

Tesis: Bab I Pendahuluan

Tesis: SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU-INVARIANT (bag depan)

2008-11-28T18:33:00.000-08:00

PRAKATA

Puji syukur pada Allah yang telah memberikan rahmatNya kepada penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Penulisan tesis ini guna memenuhi salah satu persyaratan untuk mencapai derajat sarjana S-2 pada Program Studi Matematika Jurusan Ilmu-ilmu Matematika dan Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada.

Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

Ibu Dr. Lina Aryati, M.S., selaku pembimbing utama, yang telah memberikan bimbingan penyusunan tesis ini.
Bapak Dr. Ari Suparwanto, M.Si, selaku pembimbing pendamping, yang telah memberikan bimbingan penyusunan tesis ini.

dan seterusnya .........

Selengkapnya download:

Bagian Depan Tesis

Pengantar: PENATAAN ULANG Blog Aljabar Max-Plus Andy

2008-11-28T18:26:00.000-08:00

Kepada para siapa saja yang pernah berkunjung di blog ini, mulai hari sabtu 29 November 2008, diadakan posting ulang untuk blog ini. Dalam posting ulang ini kami akan menyediakan materi-materi yang lebih lengkap dan dapat didownload. Mudah-mudahan lebih membantu dan bermanfaat bagi para peminat dan calon peminat aljabar max-plus di tanah air.

Untuk posting-posting awal kami akan menyajikan serial materi tesis saya. Selamat mengikuti dan mendownload. Semoga bermanfaat.

Salam Max-Plus

Andy Rudhito
Yogyakata